Sur l’interprétation géographique des valeurs propres (Gould, 1967)

Les géographes quantitativistes s’intéressent aux traitement de données localisées, notamment aux mathématiques, aux statistiques, plus largement à tout un attirail de méthodes et d’outils qu’ils transfèrent parfois tant bien que mal – pour n’y avoir pas forcément ou spécialement été formés – à l’analyse géographique des données, à l’analyse des données géographiques ou localisées, plus précisément à l’analyse spatiale des données en géographie.

Parmi ces méthodes figurent l’analyse matricielle qui passe par l’algèbre linéaire définie par Wikipédia comme étant « la branche des mathématiques qui s’intéresse aux espaces vectoriels et aux transformations linéaires, formalisation générale des théories des systèmes d’équations linéaires ». Et on est d’emblée perdu.e.s (je parle pour moi seule, qui n’ai pas reçu de formation à ces notions), ce qui pose un énorme problème dès lors que l’on s’intéresse aux matrices.

Alors que faire ? S’auto former, bien sûr (notamment dans le cadre du groupe fmr) pour espérer y comprendre quelque chose, mais ce n’est pas si facile. Et on y comprends finalement pas grand chose, à l’algèbre linéaire, ni ce que cela signifie, ni à quoi cela pourrait bien servir – on apprendra plus tard que tous ces méthodes ne sont pas transférables à l’analyse géographique, mais ce n’est pas le sujet.

Et puis un jour, un certain Waldo Tobler vous suggère de regarder comment filtrer des matrices origine-destination (pour éclaircir les cartographies de flux/mouvement se produisant entre de nombreux lieux). Son idée est de tester la pertinence de l’algèbre linéaire (ah mince) … mais pas toute seule (ouf !), en faisant comme lui, c’est-à-dire en travaillant avec un.e collègue mathématicien intéressé par la géographie/cartographie. Pour cela, il me communique l’une des dernières communications académiques qu’il a réalisé, ainsi que 2-3 références parmi lesquelles, un long texte de Peter Robin Gould publié en 1967 et qui porte, justement, sur l’intérêt de l’algèbre linéaire pour l’analyse géographique, potentiellement pour la cartographie des flux.

Pressentant ce texte important et fondamental pour l’analyse des réseaux, des flux OD et des matrices, j’entreprends avec Laurent Beauguitte de travailler (avec lui) à sa traduction dans le cadre de la collection de Textes jugés fondamentaux par le groupe fmr, pour l’analyse des réseaux (en général). Laurent avait déjà travaillé avec Pierre Beauguitte en 2011, sur une synthèse méthodologique intitulée Opérations matricielles et analyse de graphe.

L’article de Peter Gould illustre les principes fondamentaux de l’algèbre linéaire de manière littérale, graphique et formelle. Très pédagogique, il s’appuie sur de nombreux exemples issus de contextes géographiques variés pour illustrer comment le traitement matriciel permet d’analyser différents phénomènes géographiques. Contre toute attente, il présente un exemple en géographie physique/géomorphologie comme celui-ci sur les « matrices de terrain » que je découvre personnellement à cette occasion.

Figure 1. Une matrice de terrain triangulaire et sa transposition superposée à une carte d’isolignes

Figure 2. Valeurs propres de la matrice de terrain précédente

L’analyse de réseaux n’est absolument pas en reste dans ce Gould 1967. Le réseau routier de la Syrie est par exemple analysé par l’auteur, car il peut « présenter des caractéristiques structurelles et de connectivité [qui] peuvent être perturbées par les changements politiques ». Gould montre ainsi une forme de résilience de certains nœuds tels « le port mineur d’Al Latiquiya [qui] a dû supporter le poids des exportations », suite à la dislocation du réseau routier après la première guerre mondiale. L’analyse des vecteurs propres révèle plus globalement le rôle des différents nœuds dans le système de circulation marchand de la Syrie, que Gould présente à la manière d’un commentaire de cartes.

Figure 3. Le réseau routier simplifié de Syrie.

« Le premier vecteur propre fait ressortir deux fortes régions nodales centrées sur Alep et Hama, tandis que les deuxième et troisième font ressortir les noeuds de Damas et Homs. Ainsi, les principaux centres d’intérêt (…) ».

D’après vous, que mettent en évidence les autres résultats issus de l’analyse des vecteurs propres ?

Accéder à la traduction.

Références mentionnées :

Pierre et Laurent Beauguitte, 2011, Opérations matricielles et analyse de graphe, Synthèse méthodologique, groupe fmr.

Françoise Bahoken et Laurent Beauguitte, 2022, P. R. Gould, 1967, On the Geographical Interpretation of Eigenvalues, version traduite et commentée. hal-03699723

Peter Gould, 1967, On the Geographical Interpretation of Eigenvalues, Transactions of the Institute of British Geographers No. 42 (Dec., 1967), pp. 53-86 (34 pages)

Françoise Bahoken

Géographe et cartographe, Chargée de recherches à l'IFSTTAR et membre-associée de l'UMR 8504 Géographie-Cités.

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