M comme Matrices (avec s)

Ces billets visent à définir le plus clairement et le plus précisément possible des termes clés en analyse de réseau. Ils s’adressent à un public débutant et évitent autant que possible toute formalisation mathématique (pour cette dernière, voir les synthèses fmr sur Hal-Shs).

Ce billet vise à présenter un système de matrices complémentaires auquel nous avons souvent recours (en SHS et en géographie) pour représenter des données relationnelles localisées, dans un espace géographique, sous la forme de graphe ou de carte (de liens, de flux, de mouvements, etc.).

Nous repartons de la matrice telle que précédemment présentée (M comme Matrice), pour étendre (un peu) sa description, en la prenant pondérée orientée et asymétrique (voir F comme Flux).

Cette matrice ayant pour ambition d’être représentée graphiquement – ses données cartographiées (voir ici) -, l’accent est mis sur la composante spatiale de localisation des sommets qui définit une forte contrainte de position. Dans une analyse géographique, la géographie – ou composante spatiale des entités étudiées – intervient de plusieurs manières : soit comme un caractère (une variable attributaire), soit comme une variable de l’image, c’est-à-dire une composante intrinsèque de l’objet étudié ou encore soit comme variable exogène pour ajuster les valeurs, les filtrer, les transformer, etc.

En considérant le bipoint (i,j) comme objet d’étude, deux paires de coordonnées (Xi, Yi) et (Xj, Yj) définissent nécessairement le caractère absolu de leurs positions dans un espace géographique muni d’une projection. Considérer la géographie d’une paire de sommets, caractérisant un lien, conduit ensuite à mobiliser une métrique fondée sur l’espacement de ces sommets (des acteurs, des lieux, …). La plus commune d’entre elles étant continue, il s’agit de la distance (Dij) kilométrique qu’il convient de parcourir pour relier (i) et (j).

Mobiliser cette distance (Dij) implique que l’on dispose, conjointement à une matrice d’adjacence ou de flux (Fij), d’une Matrice d’information géographique de laquelle vont pouvoir être déduites les positions (X,Y) des lieux (par exemple via l’extraction des barycentres ou centroïdes) qui permettront de calculer, notamment, une Matrice de distances (Dij).


On mobilise ainsi généralement a minima trois types de matrices :
– l’une pour les sommets (i) correspondant à des lieux, incluant la description de leurs positions géographiques (X,Y) ;
– une autre pour les arcs décrivant les relations entre sommets – elles sont parfois pondérées et/ou orientées comme ci-dessus pour définir une quantité transférée entre (i) et (j), notée (Fij) ;
– une troisième pour les espacements – tel l’éloignement géographique (Dij)  distance kilométrique à vol d’oiseau) dont il est question ici. A noter que plusieurs métriques sont envisageables ;
– etc.

Pour des raisons de stockage, ces matrices peuvent être présentées soit au format large (wide) et/ou soit au format liste (long).
Le format long est caractéristique des tableaux (individu*variables) bien connus en SHS. Il a ceci d’intéressant qui’il permet de stocker dans un tableau unique (en haut à droite ci-dessus), à la fois les caractères qui relèvent des sommets que des arcs. Un autre avantage est qu’il est lisible dans pratiquement tous les outils de cartographie / géo visualisation actuels.

Billets liés : F comme flux, L comme lien.

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Françoise Bahoken

Géographe et cartographe, Chargée de recherches à l'IFSTTAR et membre-associée de l'UMR 8504 Géographie-Cités.

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