ENSAI Cours 5 – Traitements et modélisations statistiques

Avertissement devenant rituel : je ne sais pas (pas encore) rédiger correctement mes cours. Il s’agit donc plus ici de notes de cours grossièrement mises en forme que d’un cours en ligne à proprement parler. Le .zip téléchargeable ici contient le script R commenté et le jeu de données utilisé pour ce cours.

Introduction

L’un des grands défauts de la majorité des mesures en analyse de réseau (quelle que soit la discipline) est leur côté exclusivement descriptif. Or la volonté de modéliser statistiquement les réseaux observés est ancienne (Moreno et Jennings, 1938 ; Rapoport, 1953). Depuis les années 80, plusieurs modèles ont été proposés, chacun tentant de dépasser les limites de ses prédécesseurs (cf Beauguitte, 2012). Une première partie liste les traitements bivariés et multivariés fréquemment utilisés, la deuxième partie s’intéresse aux modèles ERGM et la dernière au modèle SIENA. Comme toujours avec les modèles statistiques, leur utilisation suppose des hypothèses a priori que le modèle permettra d’infirmer ou de valider.

1 Traitements statistiques bi et multivariés

Un traitement statistique possible est de tester les relations entre une propriété et une autre (le degré entrant est-il corrélé au degré sortant ?). Étudier la distribution d’une propriété des sommets (ex. degré) et chercher à trouver la fonction résumant cette distribution est également une des possibilités (souvent exploitée) offerte (cf cours 4). Dans la mesure où de très nombreuses mesures sont disponibles, il est logique que les analyses multivariées type analyses en composantes principales soient utilisées depuis des décennies pour créer des classes homogènes de sommets (cf l’article de Muraco, cours 3).

2 Le modèle ERGM (Exponential random graph model)

Pour savoir si le graphe étudié est significativement différent d’un graphe aléatoire, une première approche est de générer x graphes aléatoires de même taille et densité et de comparer les structures obtenues dans le graphe observé et dans les graphes aléatoires. La méthode est pertinente mais présente un inconvénient majeur : il faut tester les structures les unes après les autres sans prendre en compte les interdépendances entre ces configurations. Le modèle ERGM permet de pallier à cet inconvénient et peut s’appliquer à réseau orienté ou non, booléen, one-mode ou two-mode, simple ou multiple. Il présente un défaut majeur : les algorithmes utilisés sont exigeants et ce modèle s’applique mal aux grands réseaux.

2.1 Principes

Le modèle ERGM repose sur un pré-supposé théorique fort : la structure d’ensemble d’un réseau peut s’expliquer par l’accumulation de micro-structures locales (dyades et triades) et les mécanismes de formation de liens à l’intérieur de ces micro-structures. Ces micro-structures sont appelés local network patterns ou network configurations et donnent les paramètres du modèle. Il s’agira donc de choisir, en fonction d’hypothèses précises, quels sont les paramètres à introduire dans le modèle. Par exemple, si la transitivité est supposée élevée (réseau personnel d’amitié), le nombre de triangles doit être inclus dans le modèle. Les résultats du modèle permettent de savoir si tel ou tel paramètre est significativement plus présent dans le réseau observé qu’attendu. On différencie les variables endogènes et les variables exogènes : une variable exogène peut affecter la présence d’un lien dans le réseau mais l’inverse n’est pas vrai (ex. la variable genre peut expliquer la présence de liens mais la présence de liens n’affecte pas le genre).

La figure ci-dessous présente diverses configurations locales – cette liste est loin d’être exhaustive – pouvant être observées dans un réseau orienté et non orienté.

configuration

Si on lie ces configurations avec des hypothèses liées au réseau étudié, on peut obtenir des configurations de ce type.

ergm

La différence majeure avec les modèles type régression logistique est qu’ici les observations (i.e. les liens) ne sont pas supposées indépendantes.

2.2 Déroulement

Les étapes pour mener à bien un modèle ERGM sont les suivantes :

  • formuler des hypothèses claires et les relier à des configurations spécifiques (activité et degré sortant ; popularité et degré entrant ; transivité des relations et nombre de triangles ; homophilie et variable attributaire potentiellement explicative etc.)
  • identifier les variables pertinentes (endogènes et exogènes)
  • construire le modèle
  • estimer les paramètres les plus probables ayant donné lieu à cette configuration (maximum de vraisemblance) et les interpréter (significativité, écart-type). Le paramètre estimé doit être supérieur au double de la valeur absolue de l’écart-type pour être significatif (idem dans le modèle SIENA).
  • évaluer la qualité d’ajustement du modèle (goodness of fit). Une fois le modèle ajusté, on simule des réseaux suivant ce modèle pour voir si d’autres paramètres (non-fitted) sont centraux ou périphériques dans la distribution. L’idée de base est la suivante : est-ce que des paramètres non inclus sont capturés correctement par le modèle ? Les t-ratios doivent être inférieurs à |0.1|. S’ils sont supérieurs à |2|, ils signalent des effets non pris en compte par le modèle.

L’objectif est de construire le modèle le plus économe et le plus explicatif possible. L’étape la plus importante est bien entendu le choix des paramètres puis l’interprétation des résultats. Pour un graphe non orienté, un bon point de départ est de prendre en compte la densité, le degré et les triangles. Pour un graphe orienté, on différenciera degré entrant et sortant.

2.3 L’exemple des relations sexuelles dans la série Grey’s anatomy (d’après Benjamin, 2012)

Le jeu de données utilisé (grey.RData) liste les relations sexuelles entre personnages de la série Grey’s anatomy. Visualiser le graphe en colorant les sommets selon le genre montre une tendance très nette à l’hétérosexualité.

Screenshot - 23012015 - 15:43:07

Le modèle utilisant le nombre de liens et le genre donne de bons résultats en ce qui concerne la densité et la tendance à l’hétérosexualité. Par contre, le modèle prévoit un nombre non négligeable de sommets ayant un degré à zéro. Sur la figure ci-dessous, les box-plots montrent les propriétés des graphes simulés et le trait noir celles du graphe observé. La différence concernant les sommets de degré 0 apparaît clairement. En clair, les graphes simulés basés sur ces propriétés entraînent une proportion non négligeable d’abstinent-e-s.

gof

Le script commenté détaille les différentes étapes et l’interprétation des résultats. Il faut cependant noter que le package ergm n’est pas le plus simple à utiliser (nombre élevé de paramètres et d’options).

3 Le modèle SIENA (Simulation Investigation for Empirical Network Analysis)

Le modèle SIENA est grosso modo l’équivalent du modèle ERGM mais appliqué à des graphes longitudinaux : la population d’acteurs est supposée stable (ce qui est une des grandes limites du modèle) et les relations dans cette population sont mesurées à plusieurs reprises. Développé par Tom Snijders, le modèle cherche à expliquer l’apparition et la disparition de liens en incluant des variables structurales et des variables attributaires. L’article de Federico de la Rua (2004) fournit une excellente introduction à ce modèle et ce qui suit n’est qu’un résumé succinct de cet article. De nombreux développements ont par ailleurs été faits depuis 2004 (réseau 2-mode, multigraphe, gestion des données manquantes etc.).

3.1 Principes

L’objectif de la modélisation est d’expliquer la présence et l’évolution des liens au sein d’une population. Comme pour tous les modèles, cela suppose de formuler des hypothèses au préalable. Il est nécessaire d’avoir le réseau complet à au moins deux moments t et t+1. La variable dépendante analysée est le changement de relations dans le réseau représenté par deux (ou plus) graphes orientés parmi un nombre fixe d’acteurs. Au niveau théorique, le modèle repose sur la théorie de l’action orientée par un but (purposive action) et postule que les acteurs réalisent des choix (établissement, maintien, suppression des liens) pour maximiser leur utilité, ce qui détermine la structure ultérieure du réseau. L’état du réseau à un moment donné conditionne les états postérieurs de celui-ci (d’où l’utilisation de chaînes de Markov). Il n’y a donc pas de mémoire des individus (seul t est pris en compte pour déterminer t+1), ni de stratégie à long terme (supprimer une relation à t+1 pour pouvoir en créer une à t+n).

D’autres postulats sont posés  :

  • les acteurs agissent de façon indépendante, non coordonnée ;
  • les acteurs ont une connaissance totale des agencements des liens actuels dans le réseau (ce postulat est d’ailleurs implicite chaque fois qu’on mesure des plus courts chemins dans un réseau – proximité, diamètre – ou des mesures mobilisant les plus courts chemins comme l’intermédiarité) ;
  • les changements ont lieu un après l’autre et que tous les acteurs ont la même probabilité de réaliser un changement.

Ces différents postulats sont liés à des limitations techniques (réduire le nombre de paramètres à ajuster) mais sont très discutables au niveau théorique.

3.2 Déroulement

Construire un modèle SIENA suppose les étapes suivantes :

  • formuler des hypothèses et les relier à des configurations spécifiques ;
  • tester le modèle ;
  • étudier les paramètres et leurs écart-types : on considère un paramètre comme significatif quand sa valeur est au moins le double de son écart-type.

Il est conseillé de toujours inclure dans le modèle la densité, car c’est un effet de contrôle pour tous les autres.

3.3 Exemple d’application

Voir les scripts disponibles sur la page personnelle de Tom Snijders (http://www.stats.ox.ac.uk/~snijders/siena/)

Conclusion

Longtemps peu maniables, les modèles statistiques d’analyse de réseaux font désormais partie des pratiques courantes en analyse des réseaux sociaux (manuel de référence publié en 2013 par Lusher et al., logiciels dédiés, nombreux articles utilisant ces méthodes etc.). Ces modèles restent cependant peu adaptés aux grands graphes et peuvent parfois être délicats à paramétrer.

Références

L. Beauguitte, 2012, Analyse de graphe et modèles statistiques. Du modèle p1 à l’ERGM, collection fmr
Benjamin, 2012, Lessons on exponential random graph modeling from greys anatomy hooks-up, http://badhessian.org/2012/09/
A. de Federico de la Rua, 2004, L’analyse longitudinale de réseaux sociaux totaux avec Siena, Bulletin de méthodologie sociologique, (84):5–39.
D. Lusher, J. Koskinen et G. Robins, 2013, Exponential Random Graph Model for Social Networks, Cambridge University Press
J.L. Moreno et H.H. Jennings, 1938, Statistics of social configurations. Sociometry, 342-374
A. Rapoport, 1953, Spread of information through a population with socio-structural bias: II. Various models with partial transitivity, The bulletin of mathematical biophysics, 15(4):535-546


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