ENSAI Cours 3 – Réseaux spatiaux et analyse de flux

Avertissement : je ne sais pas (pas encore) rédiger correctement mes cours. Il s’agit donc plus ici de notes de cours grossièrement mises en forme que d’un cours en ligne à proprement parler. Ces notes seront utilement complétées par le visionnage de la présentation téléchargeable ici.

Introduction

Si sociologie, physique et informatique étudient de manière préférentielle voire exclusive des réseaux non planaires, l’étude de réseaux techniques, territoriaux et planaires a très longtemps caractérisé les approches géographiques des réseaux. Si certain-e-s géographes s’intéressent depuis le milieu des années 90 à d’autres types de réseaux et ont, de fait, renouvelé leurs approches méthodologiques, important notamment des mesures proposés par les physiciens (Ducruet et Beauguitte, 2013), la grande majorité des travaux géographiques contemporains reste marquée par le caractère planaire des réseaux étudiés.

Dans l’un des ouvrages de référence sur l’étude géographique des réseaux (Dupuy, 1988), le réseau est ainsi défini : « toute infrastructure permettant le transport de matière, d’énergie ou d’information, qui s’inscrit sur un territoire où elle est caractérisée par la topologie de ses point d’accès ou points terminaux, de ses arcs de transmission, de ses nœuds de bifurcation ou de communication ».

Historiquement, l’un de premiers objets étudié par la géographie et mobilisant l’analyse de réseau fut la morphologie fluviale : comment caractériser les cours d’eau et leurs affluents ? Le caractère planaire se double dans ce cas de la structure en arbre du réseau étudié. Horton et Strahler proposeront dans les années 40-50 une classification hiérarchique des cours d’eau. Puis des méthodes d’analyse ont été mises au point pour l’étude des réseaux d’infrastructures et notamment les réseaux de transport. Une seconde tradition disciplinaire concerne l’analyse des flux entre lieux (graphes valués non planaires).

1 L’analyse des réseaux techniques

Les réseaux techniques présentent au moins deux caractéristiques distinctes par rapport aux réseaux sociaux : ils ont nécessairement une inscription spatiale (coordonnées précises pour les sommets, tracé donné pour les liens) et ils servent à transporter une quantité donnée (de personnes, de biens, d’énergie etc). On aura donc affaire à des réseaux le plus souvent valués et spatialement contraints. Leur étude et leur représentation différeront donc – tout comme les logiciels utilisés (SIG).

1.1 Les fondateurs

Deux ouvrages ont exercé une influence majeure sur l’étude géographique des réseaux : une thèse, éditée en 1963 (Kansky, 1963, The structure of transportation networks) et un manuel édité en 1969 (Chorley et Haggett, 1969, Network analysis in geography). L’ouvrage de Kansky s’intéresse uniquement aux réseaux de transports dont les sommets et les lignes s’inscrivent sur le territoire – en excluant donc le transport aérien (« The essential elements of transportation networks are thus man-made features located on the earth’s surface in geometric patterns »). Le spectre couvert par le manuel de Chorley et Haggett est plus large mais la focalisation sur les graphes planaires reste prédominante, tout comme la prise en compte de la valuation des liens (distance, intensité, etc.). Si le graphe est utilisé pour présenter les différents indicateurs proposés, les études empiriques sont illustrées très majoritairement par le marqueur disciplinaire numéro un en géographie : la carte.

Kansky propose pour l’étude des réseaux une série d’indicateurs inspirés par les travaux du mathématicien Claude Berge : simples à calculer, prenant en compte des indicateurs basiques (nombre de liens, nombre de sommets, distance, intensité des relations), ils restent aujourd’hui encore très largement utilisés. Très pédagogique, largement illustré par des petits graphes permettant de détailler le calcul (et l’interprétation) des indices présentés, et proposant une étude empirique solide sur le réseau ferré sicilien, l’ouvrage reste tout à fait recommandable.

Les indices Kansky se répartissent en deux catégories : ceux basés sur des ratios (nommés par des lettres grecques) ; ceux basés sur des « individual elements of transportation networks ».

Soit un graphe avec E le nombre de liens, V le nombre de sommets et P le nombre de composantes connexes :

  • alpha = ratio entre le nombre de circuits présents et le nombre de circuits possibles : il varie entre 0 (arbre) et 1 (graphe complet). Pour les graphes planaires, la formule est (EV+P) / (2V – 5) ; pour les graphes non planaires alpha = (EVP) / (V(V-1)/2 * (V-1)). C’est un indicateur de connectivité ;
  • beta = E/V. Une valeur inférieure à 1 signale un arbre ou un graphe non connexe, une valeur égale à 1 signale la présence d’un seul circuit ; beta ne peut dépasser 3 pour un graphe planaire (pas de limite supérieure pour un graphe non planaire). L’indice beta correspond au degré moyen ;
  • gamma : ratio entre le nombre de liens présents et le nombre de liens possibles. Une formule est proposée pour les graphes planaires – gamma = E / 3(V-2) – et une autre pour les graphes non planaires – gamma = E / (V * (V-1)/2). Le terme densité employé dans les autres disciplines (et connectance en écologie) est synonyme ;
  • eta : longueur moyenne des liens, exprimé généralement en kilomètres ;
  • pi : flux total divisé par le long des plus courts chemins kilométriques (ou diamètre kilométrique) ;
  • theta : flux total divisé par le nombre de liens (intensité moyenne) ;
  • iota : distance totale divisée par le flux total.

Mesures sur des éléments individuels

  • nombre cyclomatique mu = E – V + P. Plus il est élevé, plus le réseau est dense ;
  • diamètre du graphe (plus long des plus courts chemins kilométrique) ;
  • nombre associé (associated number) : pour chaque sommet, distance au sommet qui est le plus éloigné dans le réseau ;
  • degré de connectivité : soit le nombre maximal de liens d’un réseau non planaire (V*V-1)/2, le degré de connectivité est égal à ce nombre maximal divisé par le nombre de liens (inverse de l’indice gamma) ;
  • indice de Shimbel (proposé par cet auteur en 1953 dans le Bulletin of Mathematical Biophysics) : somme des distances entre un sommet et tous les autres sommets du réseau. La distance peut être mesurée de façon topologique (distance mesurée en nombre de liens) ou pondérée (par une distance, un flux, une intensité etc.) ;
  • indice de détour (circuity) : écart moyen entre la différence au carré des distances réelles et des distances à vol d’oiseau.

Dans sa thèse, Pascale Dancoisne (1984) signale que 3 indices proposés par Berge ne sont pas repris par Kansky : le nombre de connectivité (nombre de sommets à supprimer pour que le graphe ne soit plus connexe), l’indice de connexité (nombre de liens à supprimer pour rendre le graphe non connexe) et l’indice chromatique ( nombre minimal de couleurs à utiliser pour que 2 sommets voisins soient de couleur différence).

Exercice : soit le réseau (fictif) de villes ci-dessous : les chiffres en gras et en italique indiquent la distance entre villes, les autres la population. Proposez une ou deux mesures globales sur le réseau et une ou deux mesures locales (indices Kansky ou indices issus de la SNA, prenant en compte ou non la valuation des sommets et des liens). Si vous deviez proposer un nouveau tronçon routier, où le placeriez-vous  et pourquoi ? Quel serait son impact sur les performances globales et les situations locales ?

exokansky

1.2 Données, questions de recherche et méthodes

Les données liées aux réseaux techniques concernent essentiellement les coordonnées (des sommets), les tracés (des lignes), la capacité de charge du réseau et le trafic porté par le réseau. Ainsi, un réseau routier sera classiquement représenté par des voies (liens), des carrefours (sommets), des capacités (mesurées par le type de route, la vitesse limite etc.) et des données de trafic. La représentation se fait par un graphe planaire, valué et le plus souvent spatialisé. L’accès à ces données a longtemps été difficile voire payant (ex. matrice des distances entre communes françaises). Les données sur les trafics peuvent également être d’accès difficile. Par ailleurs, le passage du réseau réel au graphe (nécessairement simplifié) suppose une série de choix qui ne sont pas toujours explicités (quels tracés sont retenus comme liens ? quels carrefours sont retenus comme sommets ?)

Les principales questions de recherche concernent l’accessibilité des sommets, l’efficacité du réseau, sa vulnérabilité et son aménagement. Contrairement à la sociologie, il est en effet fréquent que l’analyse des réseaux techniques serve à préconiser la modification du réseau étudié (aspect applicatif fort), ce qui suppose la prise en compte des coûts associés (créer un tronçon de TGV a un coût largement supérieur à l’ajout d’un-e ami-e sur facebook…). Il y a une tension entre efficacité du réseau et équité territoriale. À noter également que les réseaux techniques sont généralement redondants (existence de plusieurs chemins entre sommets voire multiplexité des liens) afin de gérer le mieux possible les aléas. Cette redondance rend les réseaux techniques plus complexes, plus coûteux mais permet un fonctionnement correct même en cas de perturbations récurrentes (cf le cas du métro parisien qui est dans les parties les plus denses un multigraphe non planaire).

Les méthodes classiques d’analyse sont le calcul d’indices (ceux de Kansky ou d’autres) avant et après un changement (réel ou projeté), la simulation de trafic et l’analyse multivariée des indicateurs calculés – voir l’article de Muraco. Les études plus récentes sur la vulnérabilité (cf Lhomme, 2012) utilisent des méthodes proches dans la mesure où il s’agit de mesurer l’efficacité d’un réseau avant et après la suppression d’un sommet ou d’un lien.

1.3 Adaptations récentes

Trois tendances récentes peuvent être signalées :

  • la prise en compte du multiniveau pour calculer des accessibilités plus proches des pratiques réelles et prenant en compte l’intermodalité – utilisation de plusieurs réseaux lors des déplacements (Chapelon, 1996) ;
  • la différenciation des effets spatiaux et des effets réseaux (Gleyze, 2007) ;
  • l’utilisation des outils de modélisation et de simulation (déplacements, gestion des risques). Ce dernier aspect était déjà présent dans Kansky mais il a été grandement facilité par le développement des logiciels et des capacités informatiques.

Exemple des plate-formes Netlogo et Gama (les 2 sont gratuites et en open-source) :

  • Netlogo : modèle Traffic grid (« This is a model of traffic moving in a city grid. It allows you to control traffic lights and global variables, such as the speed limit and the number of cars, and explore traffic dynamics ») ;
  •  Projet Miro2 : modéliser les déplacements dans une ville moyenne.

Ces simulations multi-agents commencent par définir un cadre (en géographie, un espace), une population d’agents dont les règles de comportements sont fixées puis étudient les propriétés émergentes obtenues par l’agrégation de ces comportements individuels. Les propriétés d’ensemble du système obtenu ne peuvent généralement pas être déduites simplement des propriétés individuelles des agents, d’où le terme de système complexe. Comme toute modélisation, l’objectif n’est pas de reproduire la réalité mais de mieux la comprendre en partant de quelques règles simples (d’où l’injonction KISSKeep it simple, stupid – des modélisateurs).

Il faut enfin signaler l’impact des modèles développés en physique et en mathématiques à la fin des années 90 (cf cours 4 et l’article Ducruet et Beauguitte, 2013) avec deux tendances : les importations, plus ou moins maîtrisées selon les auteur-e-s, de méthodes (chercher à déterminer si tel ou tel réseau est small-world et/ou scale-free – les réseaux techniques obéissant rarement à ces modèles en raison des contraintes topographiques) et la substitution (études de réseaux techniques par les seuls physiciens, cf notamment Barthelemy, 2010).

2 L’analyse des flux

Le flux, dans le manuel devenu classique de Denise Pumain et Thérèse Saint-Julien est défini ainsi : « mesure d’interaction spatiale obtenue par l’addition de déplacements individuels ou de quantités matérielles échangées entre deux zones géographiques pour une durée donnée » (Pumain et Saint-Julien, 2001, p. 14). Contrairement à une certaine géographie classique s’intéressant d’abord aux lieux, c’est ici l’interaction entre lieux qui est au centre des réflexions. On peut distinguer trois types d’approches : les indicateurs obtenus en partant d’une matrice de flux origine – destination ; les méthodes visant à simplifier les flux et enfin les modèles cherchant à les expliquer (voir le TD2 pour un exemple d’application de ces trois approches).

2.1 Manipulation de matrices et indicateurs basiques

Soit une matrice (généralement carrée mais pas nécessairement, et le plus souvent asymétrique) origine – destination entre les lieux i et j et des cases contenant le volume émis par un lieu vers un autre. On note Fi. la capacité d’émission de i et F.j la capacité de réception de j. Le calcul des marges en lignes et en colonnes permet de calculer pour chacun des lieux les indicateurs suivants :

  • volume des échanges du lieu i : Fi. + F.i
  • solde des échanges du lieu i : F.iFi. (solde migratoire, balance commerciale etc.)
  • taux de couverture : Fi. / F.i (peut servir à mesurer l’attractivité des lieux)
  • probabilité d’envoi de i vers j : Fij / Fi.
  • probabilité de réception de j depuis i : Fij / F.j
  • intensité des échanges de i vers j : Fij / (Fi. x F.j)
  • indice de dissymétrie des flux de i : (F.i – Fi.) / (Fi. + F.i)
  • volume total des échanges : Fij + Fji
  • solde total des échanges : FijFji

2.2 Flux dominants et flux majeurs

La méthode des flux dominants a été proposée par Nystuen et Dacey en 1961 (voir ce billet). Un lieu i est dit dominant par rapport à un lieu j si :

  • le flux le plus important émis par j est à destination de i ;
  • le volume total reçu par i est supérieur au volume total reçu par j.

La méthode crée un arbre (ou une forêt) couvrant orienté (mais des lieux peuvent se retrouver isolés) et met en évidence des lieux dominés, des relais et des lieux dominants. Comme toute méthode, elle a ses limites : elle garde un seul flux pour tous les lieux or l’écart peut être important entre ces flux, et deux flux émis par un même lieu peuvent être très proches en volume.

Les méthodes de flux majeurs sont un assouplissement de la méthode des flux dominants dans la mesure où l’on prend en compte soit les x premiers flux émis par lieu ; soit les flux représentant plus de x % du volume total, soit une subtile combinaison des deux. Considérer les x premiers flux de tous les lieux peut ne pas avoir beaucoup de sens (les lieux étant généralement très fortement hiérarchisés, les flux le sont aussi), et ne considérer que les flux les plus importants en volume du total entraîne généralement un grand nombre d’isolés. Se pose ensuite le problème de la représentation qui peut définir problématique, surtout si l’on projette les liens majeurs sur un fond de carte (voir cours 6).

2.3 Modèles gravitaires

Pour cette partie, je me permets de renvoyer au cours en ligne de Claude Grasland. Seuls les principes de base et les principales formules sont rappelés ici.

La famille des modèles gravitaires – ou d’interaction spatiale – cherche généralement à valider trois hypothèses complémentaires :

  • l’interaction entre deux lieux décroît quand la distance entre eux augmente ;
  • l’interaction entre deux lieux est fonction de leurs masses : à distance égale, les échanges sont plus importants entre deux lieux de masse plus importantes ;
  • l’interaction entre les lieux est fonction de l’appartenance à une même entité (politique, culturelle, linguistique etc.).

Les cadres conceptuels peuvent être différents : modèle économique (Zipf) et loi du moindre effort ; modèle psychologique (Hägerstrand) et connaissance plus grande des espaces proches ; modèle sociologique (Stouffer) et rôle des opportunités interposées.

L’un des premiers modèles proposés est celui de Ravenstein (1885) qui vise à expliquer l’attractivité migratoire des lieux à l’aide de la formule suivante :

Fij = Pj / dij

Fij est le nombre de migrants venus de i vers j ; Pj la population de la ville j (considérée comme un proxy de son attractivité) et dij la distance entre i et j.

Reilly en 1931 (The law of retail gravitation) propose un modèle de potentiel (plus que d’interaction) visant à définir les aires d’attraction commerciale des villes.

dxj = dij / (1 + √Pi/Pj)* – je recommande de regarder plutôt les formules sur le diaporama, Hypotheses ne permet pas encore l’utilisation du LaTeX dans les billets.

avec dij distance entre i et j, dxj distance entre x (point d’équilibre) et j, Pi et Pj les populations des villes i et j. Le résultat est une partition de l’espace considéré sans zone de recouvrement. D’autres modèles (modèle de Huff notamment) raisonnent en terme de probabilité et autorisent les zones de recouvrement.

Le modèle de Stewart et Zipf (1941) vise également à définir les potentiels d’attractivité des villes et reprend explicitement le modèle de Newton. On a eu effet :

Fij = k.Pi.Pj / dij2

Fij est le flux entre i et j, k une constance exprimant le niveau global de mobilité, Pi et Pj la population des lieux i et j et dij la distance entre i et j. L’exposant de la distance est nommé frein de la distance et peut varier en fonction du type de mobilité étudié.

Différents modèles (fonction puissance de la distance et fonction exponentielle) et différentes méthodes d’ajustement (log linéaire, régression de Poisson) ont ensuite été proposés. Si les modèles diffèrent au niveau statistique, le principe reste le même : trouver le modèle le plus économique et le plus explicatif, interpréter les coefficients des variables introduites, étudier les résidus positifs et négatifs (cf TD2).

Deux articles

Muraco, 1972 : un article devenu un classique sur l’accessibilité intra-urbaine.

Drevelle, 2012 : article récent d’un jeune géographe utilisant les flux majeurs et le blockmodeling (cf cours 2) pour étudier les navettes domicile-travail.

  • Quelles sont les questions de recherche ?
  • Quelles sont les données utilisées ?
  • Quelles sont les méthodes mobilisées ?
  • Quels sont les principaux résultats
  • Quel est le statut et le type d’illustrations utilisées ?

Références

Marc Barthelemy, 2001, Spatial networks, Physics Reports, 2011, vol. 499, no 1, p. 1-101, http://arxiv.org/abs/1010.0302

Laurent Chapelon, 1996, Modélisation multi-échelles des réseaux de transport. Vers une plus grande précision de l’accessibilité, M@ppemonde

Pascale Dancoisne, 1984, Théorie des graphes et constitution du réseau ferré français, Thèse de géographie, Paris 1 (thèse passionnante et très pédagogue, malheureusement non éditée donc difficile d’accès)

César Ducruet et Laurent Beauguitte. « Spatial science and network science: Review and outcomes of a complex relationship. » Networks and Spatial Economics (2014): 1-20 (revue d’accès payant mais le texte se trouve facilement sur internet)

Jean-François Gleyze, 2007, Effets spatiaux et effets réseau dans l’évaluation d’indicateurs sur les nœuds d’un réseau d’infrastructure, Cybergeo : European Journal of Geography, http://cybergeo.revues.org/5532

Serge Lhomme, 2012, L’analyse structurelle des réseaux techniques : modélisations, propriétés, vulnérabilités, collection fmr

John D. Nystuen et Michael F. Dacey, 1961, A graph theory interpretation of nodal regions, Papers and Proceedings of the Regional Science Association, vol. 7, p. 29-42

Denise Pumain et Thérèse Saint-Julien, 2001, Les interactions spatiales, Armand Colin


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