S comme symétrique

Ces billets visent à définir le plus clairement et le plus précisément possible des termes clés en analyse de réseau. Ils s’adressent à un public débutant et évitent autant que possible toute formalisation mathématique (pour cette dernière, voir les synthèses fmr sur Hal-Shs).

Le caractère symétrique (ou pas) d’un tableau de données relationnelles est une caractéristique fondamentale qui ne s’apprécie que pour les matrices carrées (voir M comme matrice) pour lesquelles la diagonale à un sens. Une matrice n’est, en effet, symétrique que par rapport à sa diagonale principale.

Lorsque les valeurs situées de part et d’autre de la diagonale d’une matrice sont identiques, alors cette matrice est dite symétrique sinon elle est asymétrique. Une matrice symétrique n’a donc pas besoin d’être symétrisée (!).

Les deux sous-parties d’une matrice asymétrique sont dites triangulaires supérieure (pour la partie située au-dessus de la diagonale) et inférieure (pour la partie située sous la diagonale).

Symétriser une matrice consiste donc à appliquer un opérateur, du moins dans le cas général, entre ces deux sous-parties triangulaires. Elle diffère 1) de la transposition trans(F) qui consiste à permuter deux à deux les éléments situés de part et d’autre de la diagonale ; et 2) de l’antisymétrie qui consiste à prendre la négative de la transposée : une matrice (F) est antisymétrique si trans(F) = -(F).

On notera donc qu’une matrice symétrique est égale à sa transposée : trans(T)=(F) ; une matrice symétrisée, ou symétrique, est donc réduite à une matrice triangulaire.

Plusieurs approches de la symétrie peuvent être mises en œuvre, en voici deux appliquées à deux sous-parties (Fij et Fji) d’une même matrice (F).

1) L’approche algébrique fait généralement appel aux opérations ordinaires telles que la somme : (Fij+Fji) ; la différence : (Fij-Fji) ou encore la moyenne arithmétique : (Fij+Fji)/2.

2) L’approche logique fait appel à la théorie des ensembles : l’union correspond au Max(Fij, Fji) et l’intersection au Min(Fij,Fji).

Pour conclure, si une première matrice (F) est symétrique et une seconde matrice (X) est quelconque, alors les matrices (F), (X) et (transF) sont symétriques ; (transx), (X) et ( F) sont également symétriques tout comme (F) et trans(F), et aussi (X) et trans(X). On notera aussi que toute matrice diagonale est symétrique puisque toutes les valeurs des parties triangulaires (donc hors diagonale) sont nulles.

Billets liés : F comme flux, T comme transposée, L comme lien, M comme matrice

Françoise Bahoken

Géographe et cartographe, je suis accueillie en détachement depuis décembre 2010 à l'IFSTTAR ; je suis par ailleurs membre-associée de l'UMR 8504 Géographie-Cités.

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