M comme matrice

Ces billets visent à définir le plus clairement et le plus précisément possible des termes clés en analyse de réseau. Ils s’adressent à un public débutant et évitent autant que possible toute formalisation mathématique (pour cette dernière, voir les synthèses fmr sur Hal-Shs).

Une matrice est un tableau composé de m lignes et de n colonnes qui correspondent respectivement aux entités d’origine et de destination. On parle de matrice d’ordre m*n.

m et n sont des entités qui correspondent aux nœuds ou aux sommets d’un graphe, il s’agit d’individus (réseaux sociaux) ou de lieux (réseaux spatiaux).

La structure de la matrice décrit une grille formée de cellules de tailles régulières. Lorsque le nombre de lignes (m) est égal au nombre de colonnes (n), la matrice est dite carrée, sinon elle est rectangulaire. Dans l’exemple ci-après, la matrice est carrée et d’ordre (ou de rang) 3.

trois matrices

Chaque cellule (ou case) d’une matrice définie (à la i-ème ligne et à la j-ième colonne) met en relation deux entités (m, n) qui correspondent au croisement d’une ligne et d’une colonne. Cette mise en relation correspond au lien du réseau.

Dans l’exemple ci-dessus, au total trois entités sont théoriquement mises en relations (A, B et C), mais il n’existe que 4 liaisons (A avec B, par exemple)

Dans chaque case de la matrice est portée (ou pas) une valeur qui renseigne a minima (1) sur l’existence (ou pas) d’une relation entre des objets ou des nœuds et/ou (2) sur la valeur de la relation entre ces mêmes entités. Dans le premier cas, il s’agit d’une matrice d’adjacence formée de valeurs binaires ( ‘1’ ou  ‘0’). La modalité ‘1’ indique l’existence d’une relation et  ‘0’ l’absence de relation. Dans le second cas, il s’agit d’une matrice de flux (définie comme une matrice d’adjacence valuée) où la valeur de la cellule est une quantité mesurable, discrète ou continue (relative). Dans notre exemple, la valeur est discrète. Cette valeur archivée dans une matrice de flux correspond à la quantité qui s’est déplacée entre deux entités (d’origine et de destination) pendant un certain temps.

La matrice Bertin (ou matrice ordonnée) consiste en un recodage des valeurs en une gamme de couleurs (des niveaux de gris, dans l’exemple précédent) suivi d’une procédure de réordonnancement. Cette procédure consiste à permuter les lignes et les colonnes de la matrice de manière à obtenir un classement ordonné des valeurs qui permet de visualiser une structure intrinsèque à la matrice. Dans le cas de données spatialisées, ce réordonnancement conduit par exemple,  à une typologie spatiale.

La particularité des matrices est de présenter une structure croisée (m, n). Les matrices sont en réalité un cas particulier de tableau de contingence : les sommes en lignes et en colonnes ont, par conséquent, un sens ce qui autorise la mise en œuvre de traitements algébriques particuliers. Sont par conventions placés en ligne les entités d’origine de la relation (les objets, nœuds, sommets ou lieux) et en colonne, les entités de destination de la relation. La somme en lignes (ou en colonne) correspond alors à la marge de la matrice et l’on parle de somme marginale en ligne (ou en colonne).

Dans une matrice d’adjacence (voir figure ci-dessus), la diagonale n’a pas de sens puisqu’un objet ne peut être en relation avec lui-même. La diagonale possède, en revanche, un vrai sens pour les matrices de flux (cellules en grisés sur la figure). Ainsi, les valeurs situées au dessus de la diagonale correspondent aux flux allers et les autres aux flux retours. Si les valeurs portées de part et d’autre de la diagonale sont identiques, la matrice est dite symétrique sinon elle est asymétrique. Quant à la diagonale en elle-même, si elle est renseignée, elle correspond soit aux flux qui se sont produits à un niveau inférieur, spatial s’il s’agit de lieux ou à une échelle inférieure : celle des communes si la matrice porte sur des flux inter départementaux ; soit aux flux qui n’ont pas été retenus pas l’opération de filtrage thématique, spatio-temporel mise en œuvre pour générer la matrice. Les données de flux sont, en effet, toujours observées entre des couples d’entités caractérisés (filtrage thématique) par des attributs (z) sur une période (t) de temps [t1 – t2] (filtrage temporel) et sur un espace (x,y) donné (filtrage spatial).

Enfin, les données disponibles dans une matrice sont archivées dans un tableau qui prend soit la forme de liste, présentant au moins 3 colonnes, soit celle d’un tableau croisé (voir figure ci-après). Pour passer de l’un à l’autre format, vous pouvez utiliser votre tableur préféré ou, si votre matrice est carrée, le convertisseur de matrice présenté dans un précédent billet et disponible ici. Pour générer une matrice-Bertin sur des données relationnelles, ailleurs que très très laborieusement dans votre tableur, vous pouvez utiliser, par exemple, le logiciel de traitement matriciel Matlab(c) ou Scilab(c), sa version libre.

 

 On définit également :

– une matrice-colonne (ou vecteur-colonne) qui est une matrice d’ordre (m,1) : elle comprend plusieurs lignes et une seule colonne et inversement, une matrice-ligne  (1, n) ;

– une sous-matrice (f) ou matrice-extraite est une extraction de la matrice totale (F) obtenue en supprimant des lignes et/ou des colonnes. Elle diffère de la partition d’une matrice qui consiste en l’agrégation des lignes et des colonnes d’une matrice ;

– une matrice triangulaire supérieure (ou inférieure) est la partie de la matrice située au dessus (ou en dessous) de la diagonale d’une matrice carrée ;

– une matrice diagonale est une matrice carrée triangulaire supérieure et inférieure.

Certaines opérations effectuées sur les matrices ont un vrai sens en analyse des réseaux. Elles seront présentées dans différents billets, à commencer par S comme symétrique.

Pour conclure, sachez que les mathématiciens utilisent le doux nom « d’endomorphisme » pour qualifier les matrices.

Billets liés : F comme flux, L comme lien, S comme symétrique.

Retour au glossaire


Françoise Bahoken

Géographe et cartographe, je suis accueillie en détachement depuis décembre 2010 à l'IFSTTAR ; je suis par ailleurs membre-associée de l'UMR 8504 Géographie-Cités.

More Posts

Une réflexion au sujet de « M comme matrice »

  1. Ping : G comme graphe | groupe fmr (flux, matrices, réseaux)

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *